bude mít velikost 90 stupňů, pak nám v jednom ze vzorců zmizí poslední část vzorce a dostaneme tvar Pythagorovy věty. Protože pokud $\alpha=90^{\circ}$, pak cos(α) = 0 a tak dostáváme: a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 Motivace Mějme trojúhelník ABC se stranou c o délce |c| = 9. Velikosti úhlů jsou: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$. Otázka zní, jaká je délka zbývajících dvou stran? V tuto chvíli si již nevystačíme s běžnými goniometrickými funkcemi, protože ty fungují v pravoúhlém trojúhelníku, což tento rozhodně není. Obrázek: Dopočítejte délky stran a a b V tuto chvíli budeme muset použít jiné cesty. Jednou z nich je právě sinová věta. Jakým způsobem ji použijeme? Sinová věta nám říká, že: $$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$ My z toho známe všechny úhly a délku strany c. Stranu b tak dopočítáme z rovnosti $$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$ Zde musíme osamostatnit délku strany b. Provedeme ekvivalentní úpravu rovnic a vynásobíme rovnici sinem úhlu beta.
Potvrzení pravdivosti Thaletovy věty Thaletova věta je snadno doložitelná prostřednictvím dvou způsobů. Je to za pomoci analytické geometrie, ale také s pomocí Pythagorovy věty. Všechno podstatné o této matematické definici odhalíte s pomocí níže uvedených otázek a odpovědí. S jakým dalším tvrzením se pojí Thaletova věta? Je to případ věty o středových a obvodových úhlech kružnice. Co si pod tím představit? Středový úhel oblouku kružnice je dvojnásobkem obvodového úhlu. To znamená, že obvodový úhel je 90° a středový úhel nabývá hodnoty 180°. Jak zní potvrzení pravdivosti prostřednictvím Pythagorovy věty? Pokud je užita tato pomocná věta, výpočet vypadá následovně – AB2 = AC2 + BC2. Jak vypadá Thaletova věta za pomoci užití analytické geometrie? V této souvislosti lze zmínit výpočty AC = (m+r;n) a BC = (m−r;n). To všechno pak odpovídá propočtu AC*BC = (m+r)*(m−r) + n2 = m2 − r2 + n2 = (m2+n2) − r2 = r2 − r2 = 0. Existuje i jiné označení pro tuto větu? Ano, setkat se můžete s označení Thaletova kružnice.
Pythagorova věta je asi nejslavnějším matematickým vzorcem. Dokonce se stala i součástí dnešní kultury, zmiňuje ji Homer Simpson nebo třeba Strašák v Čaroději ze země Oz. Věta pojmenovaná po řeckém Pythagorovi byla formulovaná již dříve Babyloňany a Číňany. Na babylonských hliněných tabulkách z 18. století před n. l se objevil součet 3 2 + 4 2 = 5 2. Používal se k vytyčování oltářů. Pythagoras nebo někdo z jeho školy zveřejnil první důkaz věty. Pythagoras. Zdroj: Techmania Science Center. Autor: Pavel Trnka. Under Creative Commons. Pythagorova věta popisuje vztah mezi délkami stran libovolného pravoúhlého trojúhelníku v euklidovské rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran. Věta zní: Součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami se rovná obsahu čtverce nad přeponou. Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje rovnice kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny a, b. K odvození pythagorovy věty.
Ahoj:), poradíte mi někdo, jak postupovat v tomto příkladě? Narýsujte úsečku délky √18 cm (užitím Pythagorovy věty) a a rozdělte ji v poměru 4:3. Rozdělit úsečku v poměru umím, ale ta první část úlohy je pro mě záhadou. Díky za pomoc!
Eukleides dokázal, že takových trojic kladných čísel je nekonečně mnoho. Můžeme je vyjádřit v obecném tvaru pomocí libovolných přirozených čísel Pythagorejská čísla mají řadu aplikací. Pokud potřebujeme vytyčit v přírodě pravý úhel a nemáme k dispozici úhelník, tak použijeme pythagorejská čísla 3, 4, 5. Vzdálenost 3 a 4 naneseme na dvě ramena, která mají svírat pravý úhel a pak změříme úhlopříčku. Pokud není přesně 5, tak úhel není pravý.
Dostaneme: $$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$ Všechny výrazy na prvé straně známe nebo je umíme dopočítat. Takže dosadíme: $$|b|=\frac{9\cdot0{, }985}{0{, }866}=10{, }23. $$ Úplně stejným způsobem dopočítáme zbývající stranu a: $$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$ Osamostatníme |a| vynásobením rovnice sinem úhlu alfa. $$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$ Dopočítáme výsledek: $$|a|=\frac{9\cdot0{, }642}{0{, }866}=6{, }672$$ Odvození věty sinové Proč sinová rovnost platí? Podívejme se na obyčejný trojúhelník ABC, kde ještě narýsujeme výšku ke straně c. Trojúhelník ABC s výškou ke straně c Otázka zní, jakou délku má strana CP c. Díky výšce máme trojúhelník ABC rozdělený na dva pravoúhlé trojúhelníky, pomocí nichž můžeme délku výšky vyjádřit. Zkusíme tak vyjádřit délku strany CP c pomocí obou trojúhelníků. Platí, že sinus úhlu alfa je roven: $$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$ Odtud vyjádříme |CP c |: $$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|. $$ Nyní vyjádříme délku strany CP c pomocí druhého trojúhelníku, pomocí úhlu beta: $$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$ Odtud opět osamostatníme |CP c |: $$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$ V tuto chvíli tak máme délku výšky vyjádřenou dvěma vzorci: $$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|, $$ takže dostáváme rovnost $$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.
Použijeme základní Pythagorovu větu: Protože se ale odvěsny rovnají, stačí nám vypočíst druhou mocninu jedné odvěsny a tu vynásobit dvěma — nemusíme počítat druhou mocninu obou odvěsen, protože jsou stejné a vyšel by nám stejný výsledek. Můžeme tak napsat: Známe délku strany BD, to je přepona. Délka je rovna deseti. Dosadíme do rovnice: Umocníme desítku: Vydělíme dvěma: Zkrátíme zlomek: Teď už jsme skoro u cíle. Víme, že druhá mocnina délka strany čtverce se rovná 50. Pro zjištění délky strany tak musíme ještě rovnici odmocnit, což si můžeme dovolit, protože se pohybujeme v kladných číslech: Odmocninu z padesáti necháme v tomto tvaru, na pravé straně rovnice ale můžeme zrušit odmocninu a mocninu, protože se navzájem vyruší. Jestli chcete, můžete odmocnit i tu padesátku. Zaokrouhleně by vám vyšla sedmička: Takže platí, že délka strany čtverce je přibližně sedm, přesně odmocnina z padesáti.
Takže příklad 1: Je dán trojúhelník ABC; a = 3, b = 4. Vypočtěte délku strany c, pokud strany a a b svírají pravý úhel. Aplikací předchozího vzorce dostáváme tento vztah: c = √(a 2 + b 2). Umocníme dvě kratší strany, sečteme je a následně odmocníme. Vychází nám toto: c = √(9 + 16) = √25 = 5. Strana c má délku 5. 2: Podobný příklad, opět máme pravoúhlý trojúhelník ABC a známe tyto strany c = 17, a = 15. Dopočítejte stranu b, pokud strany a a b svírají pravý úhel. Nyní musíme vzorec upravit takto: b = √(c 2 − a 2), po dosazení dostáváme b = √(289 − 225) = √64 = 8. Výsledek je, že strana b má délku 8. 3: Teď jeden z praxe, aspoň trochu. Jak dlouhý musí být žebřík, pokud chceme vylézt do výšky deset metrů a dole bude žebřík vzdálen od budovy tři metry? Opět si zde představíme jednoduchý trojúhelník - přepona je délka žebříku a odvěsny jsou výška budovy a vzdálenost od budovy. Nyní už jen dosadíme do vzorce a vychází nám d = √(100 + 9) = √109 což už se nedá upravit na nic moc hezčího, ale v praxi nám tohle číslo bude na nic, takže po odmocnění získáme přibližně deset a půl metrů.
Použité zdroje: [1] BEUTELSPACHER, A. Matematika do vesty. Praha: Baronet, 2005. ISBN 80-7214-841-9. [2] CRILLY, T. Matematika. 50 myšlenek, které musíte znát. 1. vydání. Praha: Slovart, 2010. ISBN: 978-80-7391-409-7. [3] KUŘINA, F. Zobecnění pythagorovy věty aneb Jak odborný učitel Max Hlouba vyřešil Fermatův problém. Učitel matematiky, 2004, roč. 12, č. 2 (50), s. 65–73. ISSN 1210–9037. [4] STEWART, I. Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta. Praha: Dokořán, 2013. ISBN: 978-80-7363-292-2. 0.